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11.過雙曲線x2a2y2b2=1a0b0的右焦點F2作斜率為-1的直線,該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為A,B.若F2A=3AB,則雙曲線的漸近線方程為y=±7x.

分析 求出右焦點和雙曲線的漸近線方程,設出過右焦點F2作斜率為-1的直線為y=-(x+c),代入漸近線方程,求得A,B的坐標,由向量共線的坐標表示,可得a,b的關系,進而得到漸近線方程.

解答 解:由題意可得F2(-c,0),雙曲線的漸近線方程為y=±\frac{a}x,
設過右焦點F2作斜率為-1的直線為y=-(x+c),
代入漸近線方程,可得A(-aca+b,-bca+b),
B(-acab,bcab),
F2A=3AB,可得3F2B=4F2A,
即有3(-bcab,bcab)=4(bca+b,-bca+b),
可得3•(-bcab)=4•bca+b,化簡可得b=7a,
即有漸近線方程為y=±7x.
故答案為:y=±7x.

點評 本題考查雙曲線的漸近線方程的求法,考查向量共線的坐標表示,運用直線方程聯(lián)立,求得交點是解題的關鍵,屬于中檔題.

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