Question

20．已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n，a_n，$\frac{1}{2}$成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）若b_n=log₂a_n+3，求數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （1）由題知：$2{a_n}={S_n}+\frac{1}{2}$，利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）b_n=n+1，$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{n+1}）（{n+2}）}}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：（1）由題知：$2{a_n}={S_n}+\frac{1}{2}$，∴$2{a_{n-1}}={S_{n-1}}+\frac{1}{2}（{n≥2}）$，
兩式相減，化簡得：a_n=2a_n-1（n≥2），
故{a_n}是等比數(shù)列，且公比q=2，而n=1時，${a_1}=\frac{1}{2}$．
∴${a_n}=\frac{1}{2}•{2^{n-1}}={2^{n-2}}$．
（2）b_n=n+1，$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{n+1}）（{n+2}）}}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴T_n=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．