Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB=2，E為PC中點．
（1）求證：DE⊥平面PCB；
（2）求點C到平面DEB的距離；
（3）求二面角E-BD-P的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出PD⊥BC，CD⊥BC，由此得到BC⊥平面PCD，從而能夠證明DE⊥平面PCB．
（2）過點C作CM⊥BE于點M，平面DEB⊥平面PCB，從而得到線段CM的長度就是點C到平面DEB的距離，由此能求出結(jié)果．
（3）以點D為坐標(biāo)原點，分別以直線DA，DC，DP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角E-BD-P的余弦值．

解答： （1）證明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，
又∵正方形ABCD中，CD⊥BC，PD∩CD=D，
∴BC⊥平面PCD，
又∵DE?平面PCD，∴BC⊥DE，
∵PD=CD，E是PC的中點，
DE⊥PC，PC∩BC=C，
∴DE⊥平面PCB．…（4分）
（2）解：過點C作CM⊥BE于點M，
由（1）知平面DEB⊥平面PCB，
又平面DEB∩平面PCB=BE，
∴CM⊥平面DEB，
∴線段CM的長度就是點C到平面DEB的距離，
∵PD=AB=2，PD=AB=CD=2，∠PDC=90°，
∴PC=2

2

，EC=

2

，BC=2，
∴BE=

6

，∴CM=

CE•BC

BE

=

2 3

3

．…（8分）
（3）以點D為坐標(biāo)原點，分別以直線DA，DC，DP為x軸，y軸，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由題意知：D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，1，1），
∴

DB

=(2，2，0)，

DE

=(0，1，1)，
設(shè)平面BDE的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n

•

DB

=0，

n

•

DE

=0，
∴

2x+2y=0 y+z=0

，令z=1，得到y(tǒng)=-1，x=1，∴

n

=(1，-1，1)，
又∵C(0，2，0)，A(2，0，0)，

AC

=(-2，2，0)，且AC⊥平面PDB，
∴平面PDB的一個法向量為

m

=(1，-1，0)．
設(shè)二面角E-BD-P的平面角為α，
則cosα=|cos＜

m

，

n

＞|=|

1+1+0

2 • 3

|=

6

3

．
∴二面角E-BD-P的余弦值為

6

3

．…（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．