Question

10．設(shè)直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)x²-y²=1的右支相交于M，N兩點(diǎn)，與⊙C：（x-4）²+y²=r²（r＞0）相切于點(diǎn)P，且P為線(xiàn)段MN的中點(diǎn)，若這樣的直線(xiàn)l恰有4條，則r的取值范圍是（　�。�

• A． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$）
• B． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{7}$）
• C． （2，$\sqrt{6}$）
• D． （2，$\sqrt{7}$）

Answer 1

分析 設(shè)直線(xiàn)l：y=kx+m，代入雙曲線(xiàn)的方程，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，以及二次的方程有兩個(gè)大于1的實(shí)根，求得k²＞$\frac{4}{3}$，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及直線(xiàn)和圓相切的斜率關(guān)系，求得MN的中點(diǎn)P，代入圓的方程可得r的式子，再由不等式的性質(zhì)，即可得到所求范圍．

解答 解：設(shè)直線(xiàn)l：y=kx+m，
代入雙曲線(xiàn)的方程，可得（1-k²）x²-2kmx-m²-1=0，①
由判別式4k²m²+4（1-k²）（m²+1）＞0，
即為m²+1-k²＞0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=$\frac{2km}{1-{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}+1}{{k}^{2}-1}$＞0，
可得k²＞1，MN的中點(diǎn)P為（$\frac{km}{1-{k}^{2}}$，$\frac{m}{1-{k}^{2}}$），
⊙C：（x-4）²+y²=r²的圓心為（4，0），
由直線(xiàn)與圓相切于P，可得
$\frac{\frac{m}{1-{k}^{2}}}{\frac{mk}{1-{k}^{2}}-4}$=-$\frac{1}{k}$，化為1-k²=$\frac{1}{2}$mk，
即有MN中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，$\frac{2}{k}$），
代入圓的方程可得r²=4+$\frac{4}{{k}^{2}}$＞4，
又①有兩個(gè)大于1的根，則1-k²-2km-m²-1＞0，
即為3k²-4＞m²≥0，即有k²＞$\frac{4}{3}$，
綜上可得k²＞$\frac{4}{3}$，
即有r²=4+$\frac{4}{{k}^{2}}$＜4+3=7，
則有4＜r²＜7，即2＜r＜$\sqrt{7}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的方程和運(yùn)用，考查直線(xiàn)方程和雙曲線(xiàn)的方程聯(lián)立，運(yùn)用判別式和韋達(dá)定理，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查直線(xiàn)和圓相切的條件，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．