Question

已知方程lgax•lgax²=4的所有解都大于1，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：化簡(jiǎn)方程，利用換元法設(shè)y=lgx，lga=b，求出b的取值范圍，得a的取值范圍．

解答： 解：（lgax）（lgax²）=4，
（lgx+lga）（2lgx+lga）-4=0，
設(shè)y=lgx，lga=b，
（lgx+lga）（2lgx+lga）-4=（y+b）（2y+b）-4=0，
（y+b）（2y+b）-4=2y²+3by+（b²-4）=0，
方程（lgax）（lgax^2）=4的所有解都大于1，則2y²+3by+（b²-4）=0的所有解都大于0，
則

-3b

2

＞0，且

b2-4

2

＞0且（3b）²-4×2×（b²-4）≥0；
聯(lián)立解得b＜-2．
所以lga＜-2，
所以a的取值范圍為0＜a＜

1

100

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了方程解的范圍判斷，屬于中檔題．