Question

已知變量x，y滿足約束條件為

3x+4y-12≤0 x+2y-4≥0 y≤2

，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y（a＞0）僅在點(diǎn)（4，0）處取得最大值，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，確定目標(biāo)取最優(yōu)解的條件，即可求出a的取值范圍．

解答： 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
由z=ax+y（a＞0）得y=-ax+z，
∵a＞0，∴目標(biāo)函數(shù)的斜率k=-a＜0．
平移直線y=-ax+z，
要使目標(biāo)函數(shù)z=ax+y（a＞0）僅在點(diǎn)（4，0）處取得最大值，
則目標(biāo)函數(shù)的斜率k=-a＜-

3

4

，
即a＞-

3

4

，
故答案為：（-

3

4

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．根據(jù)條件目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在點(diǎn)A（4，0）處取得最大值，確定直線的位置是解決本題的關(guān)鍵．