Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），當x＞0時，f（x）=

2|x-1|-1，0＜x≤2 1 2 f(x-2)，x＞2

則關(guān)于x的方程6[f（x）]²-f（x）-1=0的實數(shù)根個數(shù)為（　�。�

• A、6
• B、7
• C、8
• D、9

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：先設(shè)t=f（x），求出方程6[f（x）]²-f（x）-1=0的解，利用函數(shù)的奇偶性作出函數(shù)在x＞0時的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)t=f（x），則關(guān)于x的方程6[f（x）]²-f（x）-1=0，等價6t²-t-1=0，
解得t=

1

2

或t=-

1

3

，
當x=0時，f（0）=0，此時不滿足方程．
若2＜x≤4，則0＜x-2≤2，即f（x）=

1

2

f(x-2)=

1

2

（2^|x-3|-1），
若4＜x≤6，則2＜x-2≤4，即f（x）=

1

2

f(x-2)=

1

4

（2^|x-5|-1），
作出當x＞0時，f（x）=

2|x-1|-1，0＜x≤2 1 2 f(x-2)，x＞2

的圖象如圖：
當t=

1

2

時，f（x）=

1

2

對應3個交點．
∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴當x＜0時，由f（x）=-

1

3

，
可得當x＞0時，f（x）=

1

3

，此時函數(shù)圖象對應4個交點，
綜上共有7個交點，即方程有7個根．
故選：B

點評：本題主要考查函數(shù)方程根的個數(shù)的判斷，利用換元法，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度較大．