Question

18．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F作x軸的垂線，交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若雙曲線的左頂點(diǎn)C在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，則此雙曲線離心率e的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1+\sqrt{5}}{2}，+∞$）
• B． （$\frac{1+\sqrt{5}}{2}，2$）
• C． （2，+∞）
• D． （1，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）

Answer 1

分析 作出圖形如圖，由左頂點(diǎn)C在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，得|CF|＜|AF|，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、b、c的式子，再結(jié)合平方關(guān)系和離心率的公式，求出a，c的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：直線AB方程為：x=c，其中c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$
因此，設(shè)A（c，y₀），B（c，-y₀），
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}$=1，解之得y₀=$\frac{^{2}}{a}$，得|AF|=$\frac{^{2}}{a}$，
∵雙曲線的左焦點(diǎn)C（-a，0）在以AB為直徑的圓內(nèi)部
∴|CF|＜|AF|，即a+c＜$\frac{^{2}}{a}$，
即a²+ac＜b²，
將b²=c²-a²，并化簡(jiǎn)整理，
得2a²+ac-c²＜0
兩邊都除以a²，整理得e²-e-2＞0，
解得e＞2（舍負(fù)）
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題給出以雙曲線通徑為直徑的圓，當(dāng)左焦點(diǎn)在此圓內(nèi)時(shí)求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．