Question

已知函數f(x)=

3

cos2ωx+sinωxcosωx+a(ω＞0，a∈R)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

π

2

．
（1）求ω值；
（2）求函數y=f（x）的單調遞減區(qū)間；
（3）已知f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最小值為1，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、兩角和的正弦函數化簡函數為 一個角的一個三角函數的形式，通過求出函數的周期求ω值；
（2）利用正弦函數的單調減區(qū)間求函數y=f（x）的單調遞減區(qū)間；
（3）結合[0，

π

2

]，求出

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，求出函數的最小值為1，求出a的值．

解答：解：（1）f(x)=

3

cos2ωx+sinωxcosωx+a=sin(2ωx+

π

3

)+

3

2

+a（3分）
∵

T

2

=

π

2

，∴T=π=

2π

2ω

，∴ω=1（5分）
（2）∵2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3

2

π
∴kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7

12

π，
∴單調減區(qū)間為[kπ+

π

12

，kπ+

7

12

π](k∈Z)（8分）
（3）∵0≤x≤

π

2

，∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
∴-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1，
∴f(x)min=-

3

2

+

3

2

+a=1，∴a=1（12分）

點評：本題是基礎題，考查三角函數的公式的應用，函數的基本性質的靈活運應，考查計算能力，轉化思想的應用．