Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足：a₁=a(a≠0)，a_n+1=rS_n(n∈N*，r∈R，r≠-1)，
(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
(2)若存在k∈N*，使得S_k+1，S_k，S_k+2成等差數(shù)列，試判斷：對(duì)于任意的m∈N*，且m≥2，a_m+1，a_m，a_m+2是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：(1)由已知，可得，
兩式相減可得，即，
又a₂=ra₁=ra，
所以當(dāng)r=0時(shí)，數(shù)列{a_n}為：a，0，…，0，…；
當(dāng)r≠0，r≠-1時(shí)，由已知a≠0，所以a_n≠0(n∈N*)，
于是由，可得，
∴a₂，a₃，…，a_n，…成等比數(shù)列，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，，
綜上，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為；
(2)對(duì)于任意的m∈N*，且m≥2，成等差數(shù)列．
證明如下：當(dāng)r=0時(shí)，由(1)知，
∴對(duì)于任意的m∈N*，且m≥2，成等差數(shù)列；
當(dāng)r≠0，r≠-1時(shí)，
∵，
若存在k∈N*，使得成等差數(shù)列，則，
∴，即，
由(1)知，a₂，a₃，…，a_n，…的公比r+1=-2，
于是對(duì)于任意的m∈N*，且m≥2，a_m+1=-2a_m，
從而，
∴，即成等差數(shù)列．
綜上，對(duì)于任意的m∈N*，且m≥2，成等差數(shù)列．