Question

在棱長為1的正方體AC₁中，E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為側(cè)面BB₁C₁C內(nèi)一動點(diǎn)（含邊界），若動點(diǎn)P始終滿足PE⊥BD₁，則動點(diǎn)P的軌跡的長度為

2

2

．

Answer 1

分析：如圖，取BC，BB₁的中點(diǎn)F，G．先找到一個平面總是保持與BD₁垂直，即BD₁⊥面EFG，又點(diǎn)P在側(cè)面BCC₁B₁及其邊界上運(yùn)動，并且總是保持AP與BD₁垂直，得到點(diǎn)P的軌跡為面EFG與面BCC₁B₁的交線段，結(jié)合平面的基本性質(zhì)知這兩個平面的交線是FG．

解答：解：先找到一個平面總是保持與BD₁垂直，
取BC，BB₁的中點(diǎn)F，G．連接EF，F(xiàn)G，EG，
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
有BD₁⊥面EFG，
又點(diǎn)P在側(cè)面BCC₁B₁及其邊界上運(yùn)動，
根據(jù)平面的基本性質(zhì)得：
點(diǎn)P的軌跡為面EFG與面BCC₁B₁的交線段FG．
在直角三角形BFG中，BG=BF=

1

2

，∴FG=

2

2

．
故答案為：

2

2

．

點(diǎn)評：本題考查線面垂直的判定與正方體的幾何特征、軌跡的求法、平面的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查空間想象力．屬于基礎(chǔ)題．