Question

已知函數(shù)f（x）=x³+2x²+bx+5
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=-2處有極值，求實(shí)數(shù)b的值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-2，1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)所給的函數(shù)的解析式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在-2出有極值，得到f'（-2）=0即12-8+b=0，得到b的值．
（II）函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上是遞增的函數(shù)，得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上不小于0恒成立，問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的恒成立問題．利用二次函數(shù)的性質(zhì)來解．

解答：解：（I）∵f'（x）=3x²+4x+b
又∵f（x）在x=-2處有極值
∴f'（-2）=0即12-8+b=0，
∴b=-4經(jīng)檢驗(yàn)：b=-4滿足題意
（II）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，1]上單調(diào)遞增，
∴對(duì)任意x∈[-2，1]，f'（x）=3x²+4x+b≥0恒成立
∴b≥-3x²-4x恒成立，令g(x)=-3x2-4x=-3(x+

2

3

)2+

4

3

∵g（x）在[-2，-

2

3

]上遞增，在[-

2

3

，1]上遞減
∴b≥g(-

2

3

)max=

4

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)于函數(shù)的恒成立思想的應(yīng)用，本題是一個(gè)綜合題目．