Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-x+1，a∈R．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求所有實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅲ）對任意的0＜m＜n，證明：

1

n

-1＜

f(n)-f(m)

n-m

＜

1

m

-1．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：對于第一問可通過對函數(shù)求導(dǎo)求單調(diào)區(qū)間，再討論a的范圍確定導(dǎo)函數(shù)的符號，從而求出單調(diào)區(qū)間．
對于第二問分別討論a≤0和a＞0的情況：a≤0時(shí)，發(fā)現(xiàn)在（0，1）上函數(shù)f（x）＞0，∴f（x）≤0在區(qū)間x∈（0，+∞）上不可能恒成立；
當(dāng)a＞0時(shí)，再次求導(dǎo)求出a的值．
對于第三問是在第二問的基礎(chǔ)上得到關(guān)系式：lnx≤x-1和-lnx≥1-x，通過代入求值，替換的方法結(jié)論得證．

解答： 解：（1）f′(x)=

a

x

-1=

a-x

x

(x＞0)，
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0，f（x）減區(qū)間為（0，+∞），
當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（x）＞0得0＜x＜a，由f'（x）＜0得x＞a；
∴f（x）遞增區(qū)間為（0，a），遞減區(qū)間為（a，+∞）．
（2）由（1）知：當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上為減區(qū)間，而f（1）=0，
∴在（0，1）上函數(shù)f（x）＞0，
∴f（x）≤0在區(qū)間x∈（0，+∞）上不可能恒成立；                          （
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，a）上遞增，在（a，+∞）上遞減，f（x）_max=f（a）=alna-a+1，令g（a）=alna-a+1，
依題意有g(shù)（a）≤0，而g'（a）=lna，且a＞0
∴g（a）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，
∴g（a）_min=g（1）=0，故a=1（19分）
（3）由（2）知：a=1時(shí)，f（x）=lnx-x+1且f（x）≤0恒成立
即lnx≤x-1恒成立
則

f(n)-f(m)

n-m

=

(lnn-n+1)-(lnm-m+1)

n-m

=

ln n m

n-m

-1≤

n m -1

n-m

-1≤

1

m

-1
又由lnx≤x-1知-lnx≥1-x在（0，+∞）上恒成立
∴

f(n)-f(m)

n-m

=

ln n m

n-m

-1=

-ln m n

n-m

-1≥

1- m n

n-m

-1=

1

n

-1
綜上所述：對任意的0＜m＜n，證明：

1

n

-1＜

f(n)-f(m)

n-m

＜

1

m

-1

點(diǎn)評：本題是一道綜合題，函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)極值問題，考察了不等式的證明以及各知識點(diǎn)的綜合應(yīng)用．