Question

已知集合M=|（x，y）|y=f（x）|，若對任意P₁（x₁，y₁）∈M，均不存在P₂（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，則稱集合M為“好集合”，給出下列五個集合：
①M={（x，y）|y=

1

x

 }；  
②M={（x，y）|y=lnx}；  
③M={（x，y）|y=

1

4

 x²+1}；
④M={（x，y）|（x-2）²+y²=1}；
其中所有“好集合”的序號是

 

．（寫出所有正確答案的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：對于①，利用x1x2+

1

x1x2

=0無實數(shù)解，判斷其正誤即可；對于②③，取一個特殊點即能說明不滿足“好集合”定義；
畫圖后求出過原點的圓的兩條切線方程，說明集合中任取一點，P₁（x₁，y₁）∈M，均不存在P₂（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立．

解答： 解：對于①，x1x2+

1

x1x2

=0無實數(shù)解，因此①是“好集合”； 
對于②，取點（

1

e

，-1），存在點（e，1）∈M，使得

1

e

•e+(-1)•1=0，因此②不是“好集合”； 
對于③，取點（-2，2），存在點（2，2）∈M，使得-2×2+2×2=0，因此③不是“好集合”； 
對于④，集合M中點的軌跡為以（2，0）為圓心，以1為半徑的圓，如圖，

設(shè)過原點的一條切線方程為kx-y=0，由（2，0）到切線的距離等于1得：

|2k|

k2+1

=1，解得：k=±

3

3

．
∴集合M中兩點間的最大夾角為

π

3

，即在集合中任取一點，P₁（x₁，y₁）∈M，均不存在P₂（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，因此①是“好集合”．
故答案為：①④．

點評：本題考查了命題真假的判斷與應(yīng)用，考查了元素與集合的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，解答的關(guān)鍵是對新定義的理解，是中檔題．