Question

設a＞0且a≠1，若函數(shù)f（x）=log_a（ax²-x）在區(qū)間[

1

2

，6]上是增函數(shù)，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：復合函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：分當a＞1、當0＜a＜1兩種情況，分別根據(jù)題意，利用復合函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的性質(zhì)，求得a的范圍

解答： 解：當a＞1時，∵函數(shù)f（x）=log_a（ax²-x）在區(qū)間[

1

2

，6]上是增函數(shù)，
∴函數(shù)t=ax²-x=a(x-

1

2a

)2-

1

4a

 在區(qū)間[

1

2

，6]上是增函數(shù)，且t＞0，
∴

1 2a ≤ 1 2 a• 1 4 - 1 2 ＞0

，解得a＞2．
當0＜a＜1時，則函數(shù)t=ax²-x在區(qū)間[

1

2

，6]上是減函數(shù)，且t＞0，
∴

1 2a ≥6 a•36-6＞0

，解得a∈∅．
綜上可得，a的范圍為（2，+∞），
故答案為：（2，+∞）．

點評：本題主要考查復合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．