Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公差d＞0，且第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

1

n(an+3)

 （n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n
（3）在第（2）問的前提下，是否存在最大的整數(shù)t，使得對(duì)任意的n均有S_n＞

t

36

總成立？若存在，求出t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式將第二項(xiàng)，第五項(xiàng)，第十四項(xiàng)用{a_n}的首項(xiàng)與公差表示，再據(jù)此三項(xiàng)成等比數(shù)列，列出方程，求出公差，利用等差數(shù)列求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用裂項(xiàng)法求和，可得結(jié)論；
（3）S_n＞

t

36

，即

n

2n+2

＞

t

36

，可求最大的整數(shù)t．

解答： 解：（1）∵a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d）
∵d＞0
∴d=2
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）b_n=

1

n(an+3)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
∴S_n=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

2

（1-

1

n+1

）=

n

2n+2

；
（3）S_n＞

t

36

，即

n

2n+2

＞

t

36

，
∴

1

2

≥

t

36

，
∴t≤18，
∴最大的整數(shù)t為18．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用基本量表示等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)，考查裂項(xiàng)法，難度中等．