(2013•鄭州一模)已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,2bcosc=2a-c
(I)求 B;
(II)若△ABC的面積為
3
,求b的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)正弦定理結(jié)合sinA=sin(B+C),化簡整理得2cosBsinC=sinC,結(jié)合sinC>0解出cosB=
1
2
,從而可得B=
π
3

(2)由正弦定理的面積公式,得
1
2
acsinB
=
3
,從而解出ac=4,再結(jié)合基本不等式求最值和三角形兩邊之和大于第三邊,即可得到b的取值范圍.
解答:解:(1)由正弦定理,得2sinBcosC=2sinA-sinC,----(2分)
在△ABC中,sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,
∴2cosBsinC=sinC,
又∵C是三角形的內(nèi)角,可得sinC>0,∴2cosB=1,可得cosB=
1
2
,
∵B是三角形的內(nèi)角,B∈(0,π),∴B=
π
3
.-----(6分)
(2)∵S△ABC=
1
2
acsinB
=
3
,B=
π
3

3
4
ac=
3
,解之得ac=4,----(8分)
由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac=4,(當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時,“=”成立)
∴當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時,b的最小值為2.----(12分)
綜上所述,邊b的取值范圍為[2,+∞)----(13分)
點評:本題給出三角形的邊角關(guān)系,求角B的大小,并在已知面積的情況下求邊b的取值范圍.著重考查了利用正余弦定理解三角形、三角形的面積公式和三角恒等變換等知識,屬于中檔題.
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.
z
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2
2
、
3
2
、
6
2
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