Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A在橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上，點(diǎn)P滿足

AP

=（λ-1）

OA

（λ∈R），且

OA

•

OP

=72，則線段OP在x軸上的投影長(zhǎng)度的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)向量共線定理可得|

OA

||

OP

|=72，設(shè)A（x，y）、PB為點(diǎn)A在x軸的投影，求出OP在x軸上的投影長(zhǎng)度為|

OP

|cosθ，再利用基本不等式求最值，可得結(jié)論．

解答： 解：∵

AP

=（λ-1）

OA

，∴

OP

=λ

OA

，則O，P，A三點(diǎn)共線，
∵

OA

•

OP

=72，∴|

OA

||

OP

|=72，
設(shè)OP與x軸夾角為θ，設(shè)A（x，y），B為點(diǎn)A在x軸的投影，
則OP在x軸上的投影長(zhǎng)度為|

OP

|cosθ=

72| OB |

| OA |2

=72×

|x|

x2+y2

=72×

1

16 25 |x|+ 9 |x|

≤72×

1

2 16×9 25

=15．
當(dāng)且僅當(dāng)|x|=

15

4

時(shí)等號(hào)成立．
則線段OP在x軸上的投影長(zhǎng)度的最大值為15．
故答案為：15．

點(diǎn)評(píng)：本題已知橢圓上的動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，求線段OP在x軸上的投影長(zhǎng)度的最大值．著重考查了向量的數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)、向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式、基本不等式與橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．