Question

15．已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}-1+k（1-{a^2}），x≥0\\{x^2}-2x+{（2-a）^2}，x＜0\end{array}\right.，a∈R$，對(duì)任意非零實(shí)數(shù)x₁，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x₂（x₁≠x₂），使得f（x₁）=f（x₂）成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． 0≤k≤3
• B． k≥3
• C． k≤0或k≥3
• D． k≤0

Answer 1

分析 由題意結(jié)合函數(shù)圖象可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的方程（2-a）²=k（1-a²）有實(shí)數(shù)解，解△≥0可得．

解答 解：∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}-1+k（1-{a^2}），x≥0\\{x^2}-2x+{（2-a）^2}，x＜0\end{array}\right.，a∈R$，
∴當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=k（1-a²），
∵對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)x₁，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立．
∴函數(shù)必須為連續(xù)函數(shù)，∴（2-a）²=k（1-a²），
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（k+1）a²-4a+4-k=0有實(shí)數(shù)解，
∴△=4²-4（k+1）（4-k）≥0，解得k≤0或k≥3．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)和二次不等式的解法，屬中檔題．