Question

9．已知平行四邊形ABCD中．∠BAD=120°，AB=1，AD=2，點P是線段BC上的一個動點，則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{DP}$的取值范圍是[-$\frac{1}{4}$，2]．

Answer 1

分析 以為坐標原點，以BC所在的直線為x軸，建立如圖所述的直角坐標系，作AE⊥BC，垂足為E，求出A（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），D（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），設點P（x，0），0≤x≤2，
根據(jù)向量的坐標運算以及向量的數(shù)量積的運算得到$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{DP}$=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，根據(jù)二次函數(shù)的性質即可求出答案．

解答 解：以B為坐標原點，以BC所在的直線為x軸，建立如圖所述的直角坐標系，作AE⊥BC，
垂足為E，
∵∠BAD=120°，AB=1，AD=2，
∴∠ABC=60°，
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BE=$\frac{1}{2}$，
∴A（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），D（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∵點P是線段BC上的一個動點，設點P（x，0），0≤x≤2，
∴$\overrightarrow{AP}$=（x-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{DP}$=（x-$\frac{5}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{DP}$=（x-$\frac{1}{2}$）（x-$\frac{5}{2}$）+$\frac{3}{4}$=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∴當x=$\frac{3}{2}$時，有最小值，最小值為-$\frac{1}{4}$，
當x=0時，有最大值，最大值為2，
則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{DP}$的取值范圍為[-$\frac{1}{4}$，2]，
故答案為：[-$\frac{1}{4}$，2]．

點評 本題考查了向量的坐標運算以及向量的數(shù)量積的運算，關鍵是構建坐標系，屬于中檔題．