Question

14．設數列{a_n}的前n項積為T_n，且T_n=2-2a_n（n∈N^*），則a₂₀₁₆=$\frac{2017}{2018}$．

Answer 1

分析 數列{a_n}的前n項積為T_n，且T_n=2-2a_n，當n=1時，a₁=2-2a₁，解得a₁．當n≥2時，T_n-1=2-2a_n-1，可得a_n=$\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$=$\frac{2-2{a}_{n}}{2-2{a}_{n-1}}$，取n=2，3，可得a₂=$\frac{3}{4}$，a₃=$\frac{4}{5}$，驗證成立，a₂₀₁₆=$\frac{2017}{2018}$．

解答 解：：∵數列{a_n}的前n項積為T_n，且T_n=2-2a_n，
∴當n=1時，a₁=2-2a₁，解得a₁=$\frac{2}{3}$，
當n≥2時，T_n-1=2-2a_n-1，
∴a_n=$\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$=$\frac{2-2{a}_{n}}{2-2{a}_{n-1}}$，
化為a_n=$\frac{1}{2-{a}_{n-1}}$，
取n=2，3，可得a₂=$\frac{3}{4}$，a₃=$\frac{4}{5}$，
…，
猜想a_n=$\frac{n+1}{n+2}$．
經過驗證成立．
∴a_n=$\frac{n+1}{n+2}$，
∴a₂₀₁₆=$\frac{2017}{2018}$，
故答案為：$\frac{2017}{2018}$．

點評 本題考查了遞推式的應用、數列通項公式的求法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．