Question

已知向量

a

，

b

滿足|

a

|=

5

，

b

=(1，-3)，且(2

a

+

b

)⊥

b

（1）求向量

a

的坐標(biāo)；  
（2）求向量

a

與

b

的夾角．

Answer 1

分析：（1）設(shè)

a

=(x，y)，由已知中向量

a

，

b

滿足|

a

|=

5

，

b

=(1，-3)，且(2

a

+

b

)⊥

b

，根據(jù)向量模的計(jì)算公式和兩向量垂直數(shù)量積為0，可以構(gòu)造關(guān)于x，y的方程組，解方程求出向量

a

的坐標(biāo)； 
（2）由（1）中向量

a

與

b

的坐標(biāo)，代入向量夾角公式，可以求出向量

a

與

b

的夾角．

解答：解：（1）設(shè)

a

=(x，y)
因?yàn)?nbsp;|

a

|=

5

則   

x2+y2

=

5

-------①
又∵已知

b

=(1，-3)，且(2

a

+

b

)⊥

b

2

a

+

b

=2(x，y)+(1，-3)=(2x+1，2y-3)
∴（2x+1，2y-3）•（1，-3）=2x+1+（2y-3）×（-3）=0-------②
由①②解得   

x=1 y=2

或

x=-2 y=1

∴

a

=(1，2)或

a

=(-2，1)
（2）設(shè)向量

a

與

b

的夾角θ
∵cosθ=

a • b

| a || b |

-
∴cosθ=

a • b

| a || b |

=

(1，2)•(1，-3)

1+22 1+(-3)2

=-

2

2

-
或cosθ=

a • b

| a || b |

=

(-2，1)•(1，-3)

1+22 1+(-3)2

=-

2

2

∵0≤θ≤π
∴向量

a

與

b

的夾角θ=

3π

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系，數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，熟練掌握向量模的計(jì)算公式，向量的數(shù)量積公式及向量夾角公式是解答本題的關(guān)鍵．