Question

15．已知等比數(shù)列{a_n}、等差數(shù)列{b_n}，滿足a₁＞0，b₁=a₁-1，b₂=a₂，b₃=a₃．
（1）若a₁=$\frac{1}{4}$，求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{a_n}唯一，求數(shù)列{a_n•b_n}、的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）由題意得2a₁q=a₁-1+a₁q²，代入a₁=$\frac{1}{4}$求得q=-1或q=3；從而討論確定通項(xiàng)公式；
（2）由題意知2a₁q=a₁-1+a₁q²，從而可由{a_n}唯一知方程必有一根為0，從而解得q=2；再化簡(jiǎn)即可．

解答 解：（1）設(shè){a_n}的公比為q，則由2b₂=b₁+b₃得，
2a₁q=a₁-1+a₁q²，
解得，q=-1或q=3；
當(dāng)q=-1時(shí)，a_n=$\frac{1}{4}$•（-1）^n-1，b₁=a₁-1=-$\frac{3}{4}$，b₂=a₂=-$\frac{1}{4}$，故b_n=$\frac{1}{2}$n-$\frac{5}{4}$；
當(dāng)q=3時(shí)，a_n=$\frac{1}{4}$•3^n-1，b₁=a₁-1=-$\frac{3}{4}$，b₂=a₂=$\frac{3}{4}$，故b_n=$\frac{3}{2}$n-$\frac{9}{4}$；
（2）由題意知，
2a₁q=a₁-1+a₁q²，
故△=4a₁²-4a₁（a₁-1）=4a₁＞0，
故關(guān)于q的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，
由{a_n}唯一可知方程必有一根為0，
代入方程得a₁=1，從而q=2；
∴a_n=2^n-1，
∴b₁=a₁-1=0，b₂=a₂=2，故b_n=2n-2；
令T_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n
=0•2^1-1+2•2^2-1+4•2^3-1+…+（2n-2）•2^n-1，
2T_n=0•2¹+2•2²+4•2³+…+（2n-2）•2ⁿ，
故T_n=-2•2^2-1-2•2^3-1-…-2•2^n-1+（2n-2）•2ⁿ，
=-$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$+（2n-2）•2ⁿ，
=n•2ⁿ⁺¹-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)形與等差數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了錯(cuò)位相減法的應(yīng)用．