Question

如圖,已知點(diǎn)P為菱形ABCD所在平面外一點(diǎn),并且∠DAB=60°,側(cè)面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.

(1)求證:AD⊥PB;

(2)求二面角A-BC-P的大小;

(3)設(shè)E為BC邊的中點(diǎn),F為PC中點(diǎn),求證:平面DEF⊥平面ABCD.

Answer 1

(1)證明:取AD中點(diǎn)G,連結(jié)PG.

∵△PAD為等邊三角形,

∴PG⊥AD.

又由已知平面PAD⊥平面ABCD.

∴PG⊥平面ABCD.

連結(jié)BG,BG是PB在平面ABCD上的射影.

由于四邊形ABCD是菱形,∠DAB=60°,

∴△ABD,△BCD均為等邊三角形.

∴BG⊥AD.∴AD⊥PB.

(2)解:∵AD∥BC,∴BG⊥BC,PB⊥BC.

∴∠PBG是二面角ABCP的平面角.

又PG、BG分別是兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的等邊三角形的高.

∴PG=BG.∴∠PBG=45°,

即二面角ABCP的平面角為45°.

(3)證明:∵DE是等邊三角形BCD的中線,

∴BC⊥DE.

∵E、F分別是BC、PC中點(diǎn),∴EF∥BP.

∴BC⊥EF.∴BC⊥平面DEF.

∴平面DEF⊥平面ABCD.