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12.已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象過點(8,m)和(9,3).
(1)求m的值;
(2)若函數(shù)g(x)=logaf(x)在區(qū)間[16,36]上的最大值比最小值大1,求實數(shù)a的值.

分析 (1)由題意y=f(x)是冪函數(shù),設設f(x)=xα,圖象過點(8,m)和(9,3)即可求解m的值.
(2)函數(shù)g(x)=logaf(x)在區(qū)間[16,36]上的最大值比最小值大1,對底數(shù)進行討論,利用單調(diào)性求最值,可得實數(shù)a的值.

解答 解:(1)由題意,y=f(x)是冪函數(shù),設f(x)=xα,圖象過點(8,m)和(9,3)
可得9α=3,所以α=\frac{1}{2},
f(x)={x^{\frac{1}{2}}}
m=f(8)={8^{\frac{1}{2}}}=2\sqrt{2}
故得m的值為2\sqrt{2}
(2)函數(shù)g(x)=logaf(x)即為g(x)={log_a}\sqrt{x}
∵x在區(qū)間[16,36]上,
\sqrt{x}∈[4,6]
①當0<a<1時,g(x)min=loga6,g(x)max=loga4,
{log_a}4-{log_a}6={log_a}\frac{2}{3}=1,
解得a=\frac{2}{3};
②當a>1時,g(x)min=loga4,g(x)max=loga6,
{log_a}6-{log_a}4={log_a}\frac{3}{2}=1,
解得a=\frac{3}{2}
綜上可得,實數(shù)a的值為\frac{2}{3}\frac{3}{2}

點評 本題考查了冪函數(shù)的解析式的求法和對數(shù)函數(shù)的最值的討論及運用.屬于中檔題.

練習冊系列答案
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