Question

已知圓C圓心在直線y=x-1上，且過點A（1，3），B（4，2）．
（1）求圓C的方程；
（2）若直線x+2y+m=0與圓C相交于M、N兩點，O為坐標原點，且∠MON=60°，求m的值．

Answer 1

分析：（1）設出圓的一般方程，根據圓的方程求出圓心坐標，將圓心代入直線y=x-1，將A，B代入圓的方程，列出關于待定系數的方程，求出各個系數，即得到圓的方程．
（2）根據圓心角等于圓周角的2倍，通過解半徑、圓心距、及弦長的一半構成的直角三角形得到圓心距，根據點到直線的距離公式，列出參數m的方程，求出m的值．

解答：解：（1）設圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則

- E 2 =- D 2 -1 1+9+D+3E+F=0 16+4+4D+2E+F=0

解得D=-4，E=-2，F=0．
∴圓C的方程為x²+y²-4x-2y=0．
（2）∵∠MON=60°，點O在圓C上，
∴∠MCN=120°，且點C在直線MN下方，
在等腰△MCN中，得點C到直線MN的距離為

5

2

∴d=

|2+2+m|

5

=

5

2

，解得m=-

3

2

或m=-

13

2

．
經檢驗，m=-

3

2

不合題意，舍去．
∴m=-

13

2

．

點評：求圓的方程，一般利用待定系數法；解決直線與圓相交問題，常通過解半徑、圓心距、及弦長的一半構成的直角三角形．