Question

2．已知定義在R上的函數f（x），對任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，當x＞0時，f（x）＞1；且f（2）=3，
（1）求f（0）及f（1）的值；
（2）判斷函數f（x）在R上的單調性，并給予證明；
（3）若f（-kx²）+f（kx-2）＜2對任意的x∈R恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令a=b=0，由題意即可求解f（0），令a=b=1，即可求解f（1）．
（2）利用單調性的定義在R上任取x₁、x₂，設x₁＞x₂，推出f（x₁）＞f（x₂），得到函數f（x）在R上為單調遞增；
（3）通過f（-kx²）+f（kx-2）＜2對任意的x∈R恒成立，轉化為kx²-kx+2＞0對任意的x∈R恒成立，①當k=0時，②當k≠0時，分別求解即可．

解答 解：（1）令a=b=0，由題意可知：f（0）=f（0）+f（0）-1，即f（0）=1，
同理，令a=b=1，則有f（2）=f（1）+f（1）-1，又f（2）=3，所以f（1）=2；…（2分）
（2）在R上任取x₁、x₂，設x₁＞x₂，
則f（x₁）=f（x₁-x₂）+f（x₂）-1，所以f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）-1，
又當x＞0時，f（x）＞1且x₁-x₂＞0，所以f（x₁-x₂）＞1，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
故函數f（x）在R上為單調遞增；…（6分）
（3）因為f（-kx²）+f（kx-2）＜2對任意的x∈R恒成立，
由題意可轉化為kx²-kx+2＞0對任意的x∈R恒成立，…（7分）
①當k=0時，得2＞0，符合題意；…（9分）
②當k≠0時，則$\left\{{\begin{array}{l}{k＞0}\\{{{（-k）}^2}-8k＜0}\end{array}}\right.$，解得0＜k＜8…（11分）
故符合題意的實數k的取值范圍為0≤k＜8…（12分）

點評 本題考查函數恒成立，函數的單調性以及抽象函數的應用，函數值的求法，考查轉化思想以及計算能力．