Question

12．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S_n-1是a_n與S_n的等比中項(xiàng)，則a₂₀₁₅+$\frac{1}{2016}$的值為$\frac{1}{2015}$．

Answer 1

分析 分別令n=1，2，3…，計(jì)算a_n+$\frac{1}{n+1}$，歸納其規(guī)律得出結(jié)論．

解答 解：∵S_n-1是a_n與S_n的等比中項(xiàng)，
∴（S_n-1）²=a_n•S_n，
當(dāng)n=1時(shí)，（a₁-1）²=a₁²，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
∴a₁+$\frac{1}{2}$=1，
當(dāng)n=2時(shí)，（a₁+a₂-1）²=a₂（a₁+a₂），即（a₂-$\frac{1}{2}$）²=a₂²+$\frac{1}{2}$a₂，
解得a₂=$\frac{1}{6}$．
∴a₂+$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)n=3時(shí)，（a₃-$\frac{1}{3}$）²=a₃（a₃+$\frac{2}{3}$），解得a₃=$\frac{1}{12}$．
∴a₃+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{3}$，
…
∴a₂₀₁₅+$\frac{1}{2016}$=$\frac{1}{2015}$．
故答案為$\frac{1}{2015}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了歸納推理，根據(jù)遞推公式計(jì)算前幾項(xiàng)發(fā)現(xiàn)其規(guī)律是解題關(guān)鍵．