Question

已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：對任意的，存在唯一的，使；

（3）設（2）中所確定的關于的函數(shù)為，證明：當時，有.

 

Answer 1

（1）減區(qū)間是，增區(qū)間是；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）先確定函數(shù)的定義域，然后利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）構(gòu)造函數(shù)

，利用函數(shù)的單調(diào)性與零點存在定理來證明題中結(jié)論；（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論得到

，利用換元法令得到，于是將問題轉(zhuǎn)化為且，構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)來證明在區(qū)間上恒成立即可.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為，

，令，得，

當變化時，，的變化情況如下表：

		極小值

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；

（2）當時，.設，令，，

由（1）知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

，，

故存在唯一的，使得成立；

（3），由（2）知，，且，

，

其中，，要使成立，只需且，

當時，若，則由的單調(diào)性，有，矛盾，

所以，即，從而成立.

又設，則，

所以在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)為減函數(shù)，

在上的最大值為

成立，

當時，成立.

考點：1.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)；2.零點存在定理；3.利用導數(shù)證明函數(shù)不等式