Question

如右下圖,在長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,已知AB= 4, AD =3, AA₁= 2。 E、F分別是線段AB、BC上的點，且EB= FB=1.

(1) 求二面角C—DE—C₁的余弦值;

(2) 求直線EC₁與FD₁所成的余弦值.

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（I）（法一）矩形ABCD中過C作CHDE于H，連結(jié)C₁H

CC₁面ABCD，CH為C₁H在面ABCD上的射影

C₁HDE   C₁HC為二面角C—DE—C₁的平面角

矩形ABCD中得EDC=，DCH中得CH=，

又CC₁=2，

C₁HC中，，

C₁HC

二面角C—DE—C₁的余弦值為             7分

（2）以D為原點，分別為x軸，y軸,z軸的正向建立空間直角坐標系，則有A(3,0,0)、D₁(0,0,2)、B（3，4，0），E(3,3,0)、F(2，4,0)、C₁(0,4,2)

設EC₁與FD₁所成角為β，則

   

故EC₁與FD₁所成角的余弦值為          14分

（法二）（1）以D為原點，分別為x軸，y軸,z軸的正向建立空間直角坐標系，則有A(3,0,0)、D₁(0,0,2)、B（3，4，0），E(3,3,0)、F(2，4,0)、C₁(0,4,2)

于是，，，

設向量與平面C₁DE垂直，則有

，

令，則         

又面CDE的法向量為

                     7分

由圖，二面角C—DE—C₁為銳角，故二面角C—DE—C₁的余弦值為    8分

（II）設EC₁與FD₁所成角為β，則

 

故EC₁與FD₁所成角的余弦值為                               14分

 

【解析】略