在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足sinB+
3
cosB=
3
，a=1．
（I）求角B的大��；
（II）若b是a和c的等比中項(xiàng)，求△ABC的面積．
分析：（I）題設(shè)利用兩角和公式整理等式求得sin（B+
π
3
）的值，進(jìn)而求得B．
（II）根據(jù)等比中項(xiàng)性質(zhì)可求得b2=ac，代入余弦定理中求得a與c的值，進(jìn)而可推斷出三角形為正三角形，進(jìn)而求得三角形的面積．
解答：解：（I）由sinB+
3
cosB=
3
，
得sin(B+
π
3
)=
3
2
，
由B∈（0，π）得B+
π
3
∈(
π
3
，
4π
3
)，故B+
π
3
=
2π
3
，
得B=
π
3
．
（II）由b是a和c的等比中項(xiàng)得b2=ac
又由余弦定理得b2=a2+c2-2ac•cosB=a2+c2-2ac•cos
π
3
=a2+c2-ac，
故ac=a2+c2-ac，得（a-c）2=0，得a=c=1，
∴b=
ac
=1
故△ABC為正三角形
故S△ABC=
3
4
．
點(diǎn)評：本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，兩角和公式的化簡求值．考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識點(diǎn)綜合運(yùn)用．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若b2+c2-a2=
3
bc，且b=
3
a，則下列關(guān)系一定不成立的是（　　）
A、a=c
B、b=c
C、2a=c
D、a2+b2=c2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B=60°，cos（B+C）=-
1114
．
（1）求cosC的值；
（2）若bcosC+acosB=5，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且bsinA=
3
acosB．
（1）求角B的大小；
（2）若a=4，c=3，D為BC的中點(diǎn)，求△ABC的面積及AD的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c并且滿足
b
a
=
sinB
cosA
．
（1）求∠A的值；
（2）求用角B表示
2
sinB-cosC，并求它的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且a=
5
，b=3，sinC=2sinA，則sinA=
 
．

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