為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額．
（1）若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元，求：
①顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率；
②顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成．為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列
專題：概率與統(tǒng)計(jì)
分析：（1）根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率，依題意得X得所有可能取值為20，60，分別求出P（X=60），P（X=20），畫出顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列求出數(shù)學(xué)期望；
（2）先討論，尋找期望為60元的方案，找到（10，10，50，50），（20，20，40，40）兩種方案，分別求出數(shù)學(xué)期望和方差，然后做比較，問(wèn)題得以解決．
解答： 解：（1）設(shè)顧客所獲取的獎(jiǎng)勵(lì)額為X，
①依題意，得P（X=60）=
C
1
1
•
C
1
3
C
2
4
=
1
2
，
即顧客所獲得獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率為
1
2
，
②依題意得X得所有可能取值為20，60，
P（X=60）=
1
2
，P（X=20）=
C
2
3
C
2
4
=
1
2
，
即X的分布列為
X6020
P 
1
2
 
1
2
所以這位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的數(shù)學(xué)期望為E（X）=20×
1
2
+60×
1
2
=40
（2）根據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為60元，所以先尋找期望為60元的可能方案．
對(duì)于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇（10，10，10，50）的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最大值，所以數(shù)學(xué)期望不可能為60元，
如果選擇（50，50，50，10）的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最小值，所以數(shù)學(xué)期望也不可能為60元，
因此可能的方案是（10，10，50，50）記為方案1，
對(duì)于面值由20元和40元的組成的情況，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），記為方案2，
以下是對(duì)這兩個(gè)方案的分析：
對(duì)于方案1，即方案（10，10，50，50）設(shè)顧客所獲取的獎(jiǎng)勵(lì)額為X1，則X1的分布列為
 X16020100
P
2
3
 
1
6
 
1
6
X1 的數(shù)學(xué)期望為E（X1）=20×
1
6
+60×
2
3
+100×
1
6
=60．
X1 的方差D（X1）=(20-60)2×
1
6
+(60-60)2×
2
3
+(100-60)2×
1
6
=
1600
3
，
對(duì)于方案2，即方案（20，20，40，40）設(shè)顧客所獲取的獎(jiǎng)勵(lì)額為X2，則X2的分布列為
 X2406080
P 
1
6
 
2
3
 
1
6
X2 的數(shù)學(xué)期望為E（X2）=40×
1
6
+60×
2
3
+80×
1
6
=60，
X2 的方差D（X2）=差D（X1）(40-60)2×
1
6
+(60-60)2×
2
3
+(80-60)2×
1
6
=
400
3
．
由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的數(shù)學(xué)期望都符合要求，但方案2獎(jiǎng)勵(lì)額的方差比方案1小，所以應(yīng)該選擇方案2．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了古典概型、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了數(shù)據(jù)處理能力，運(yùn)算求解能力，應(yīng)用意識(shí)，考查了必然與或然思想與整合思想．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，圓ρ=4sinθ和直線ρsinθ=a相交于A、B兩點(diǎn)，若△AOB是等邊三角形，則a的值為
 
．

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學(xué)生的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)均被評(píng)定為三個(gè)等級(jí)，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”．若學(xué)生甲的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)都不低于學(xué)生乙，且其中至少有一門成績(jī)高于乙，則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績(jī)好”．如果一組學(xué)生中沒(méi)有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績(jī)好，并且不存在語(yǔ)文成績(jī)相同、數(shù)學(xué)成績(jī)也相同的兩位學(xué)生，則這一組學(xué)生最多有（　�。�
A、2人B、3人C、4人D、5人

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如圖，在四棱錐A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=
2
．
（Ⅰ）證明：AC⊥平面BCDE；
（Ⅱ）求直線AE與平面ABC所成的角的正切值．

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某保險(xiǎn)公司利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，對(duì)投保車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：
賠付金額（元）01000200030004000
車輛數(shù)（輛）500130100150120
（Ⅰ）若每輛車的投保金額均為2800元，估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率；
（Ⅱ）在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占20%，估計(jì)在已投保車輛中，新司機(jī)獲賠金額為4000元的概率．

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OP
=m
AB
+n
AC 
（m，n∈R）
（Ⅰ）若m=n=
2
3
，求|
OP
|；
（Ⅱ）用x，y表示m-n，并求m-n的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，B1C的中點(diǎn)為O，且AO⊥平面BB1C1C．
（1）證明：B1C⊥AB；
（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC-A1B1C1的高．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．已知a1=10，a2為整數(shù)，且Sn≤S4．
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=
1
anan+1
，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

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若（x+i）i=-1+2i（x∈R），則x=
 
．

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