Question

設(shè)(2

x

-

3

x

)n展開(kāi)式中第2項(xiàng)的系數(shù)與第4項(xiàng)的系數(shù)的比為4：45，試求x²項(xiàng)的系數(shù)．

Answer 1

分析：利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)求出第r+1項(xiàng)，求出第2項(xiàng)的系數(shù)與第4項(xiàng)的系數(shù)列出方程求得n，再令x的指數(shù)為2得系數(shù)．

解答：解：第r+1項(xiàng)
Tr+1=

C

r n

•(2

x

)n-r•(

-3

x

)r=

C

r n

•2n-r•(-3)rx

n

2

-

3r

2

，
∴

C 1 n •2n-1•(-3)

C 3 n •2n-3•(-3)3

=

4

45

，
即

4•6n

9•n(n-1)(n-2)

=

4

45

，
∴n²-3n-28=0，
∴n=7或n=-4（舍負(fù)）．
令

n

2

-

3r

2

=2，即

7

2

-2=

3r

2

，
∴r=1．
∴x²項(xiàng)的系數(shù)C₇¹•2^7-1•（-3）=-1344．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題．