Question

如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長是2，側(cè)棱長為3，E為棱B₁C₁的中點(diǎn)，連接CD₁，CE，D₁E，DB₁．
（I）求證：DB₁∥平面CED₁；
（II）在側(cè)棱BB₁是否存在一點(diǎn)M，使得A₁M⊥DB₁，若存在，求出點(diǎn)M的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）連接C₁D，交CD₁于O，連接OE．可得OE是△B₁DC₁的中位線，得OE∥B₁D，結(jié)合線面平行的判定定理得DB₁∥平面CED₁；
（I）連接AB₁，過A₁作A₁M⊥AB₁，垂足為N，交BB₁于M．矩形AABB中，利用△A₁AB₁∽△B₁A₁M，求得B₁M=

A 1B12

AA1

=

4

3

，再由線面垂直的判定與性質(zhì)，證出A₁M⊥平面AB₁D，從而A₁M⊥DB₁，因此側(cè)棱BB₁是否存在一點(diǎn)M，當(dāng)B₁M=

4

3

時(shí)，滿足A₁M⊥DB₁．

解答：解：（I）連接C₁D，交CD₁于O，連接OE
∵四邊形C₁D₁DC是矩形，∴O為C₁D的中點(diǎn)
∵△B₁DC₁中，E為B₁C₁中點(diǎn)，
∴OE是△B₁DC₁的中位線，得OE∥B₁D
∵OE?平面CED₁，DB₁?平面CED₁，
∴DB₁∥平面CED₁；
（II）連接AB₁，過A₁作A₁M⊥AB₁，垂足為N，交BB₁于M
∵矩形AABB中，∠AA₁B₁=∠A₁B₁M，∠A₁AB=∠B₁A₁M
∴△A₁AB₁∽△B₁A₁M，得

A A1

A1B1

=

A1B1

B1M

，可得A1B12=AA₁•B₁M，B₁M=

A 1B12

AA1

=

4

3

∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD⊥平面A₁B₁BA，A₁M?平面A₁B₁BA，
∴A₁M⊥AD
∵A₁M⊥AB₁，AD與AB₁是平面AB₁D內(nèi)的相交直線
∴A₁M⊥平面AB₁D，結(jié)合DB₁?平面AB₁D，得A₁M⊥DB₁，
因此側(cè)棱BB₁是否存在一點(diǎn)M，當(dāng)B₁M=

4

3

時(shí)，滿足A₁M⊥DB₁．

點(diǎn)評：本題給出特殊正四棱柱，求證線面平行并探索兩條直線異面垂直，著重考查了空間平行、垂直位置關(guān)系的判斷與證明等知識，屬于中檔題．