Question

設(shè)x，y為正實數(shù)，a=

x2+xy+y2

，b=p

xy

，c=x+y．
（1）試比較a、c的大小；
（2）若p=1，試證明：以a，b，c為三邊長一定能構(gòu)成三角形；
（3）若對任意的正實數(shù)x，y，不等式a+b＞c恒成立，試求p的取值范圍．

Answer 1

考點：不等式的基本性質(zhì)

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由條件根據(jù)c²-a²=xy＞0，可得c＞a．
（2）若p=1，根據(jù)a＞b、c＞a 可得c為最大邊，再根據(jù)（a+b）²=x²+2xy+y²+2ab＞c² ，可得a+b＞c，從而證得結(jié)論．
（3）由題意可得p＞

x+y- x2+xy+y2

xy

，利用基本不等式求得

x+y- x2+xy+y2

xy

的最大值，可得p的范圍．

解答： 解：（1）∵a²=x²+xy+y²，c²=x²+2xy+y² ，∴c²-a²=xy＞0，∴c＞a．
（2）若p=1，∵a=

x2+xy+y2

≥

3

xy＞

xy

=b，∴c=

(x+y)2

=

x2+2xy+y2

＞a，∴c為最大邊，
又（a+b）²=x²+2xy+y²+2ab＞x²+2xy+y²=c² ，∴a+b＞c，從而以a，b，c為三邊長一定能構(gòu)成三角形．
（3）∵a+b＞c，即

x2+xy+y2

+p

xy

＞x+y，∴p＞

x+y- x2+xy+y2

xy

．
∵

x+y- x2+xy+y2

xy

=

xy

x+y+ x2+xy+y2

≤

xy

2 xy + 3xy

=2-

3

，∴p＞2-

3

．

點評：本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．