Question

已知曲線C：x2+

y2

a

=1，直線l：kx-y-k=0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）討論曲線C所表示的軌跡形狀；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)M，N，試問在曲線C上是否存在點(diǎn)Q，使得

OM

+

ON

=λ

OQ

？若存在，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；若不存在，請說明理由；
（3）若直線l與x軸的交點(diǎn)為P，當(dāng)a＞0時(shí)，是否存在這樣的以P為直角頂點(diǎn)的內(nèi)接于曲線C的等腰直角三角形？若存在，求出共有幾個(gè)？若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)a與0與1的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論即可；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的等軸雙曲線，直線l：kx-y-k=0過曲線C的右頂點(diǎn)（1，0），不妨設(shè)為點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)N（x₂，y₂），把直線l的方程代入曲線C的方程，由根與系數(shù)的關(guān)系求得點(diǎn)N坐標(biāo)及k值，由

OM

+

ON

=λ

OQ

，求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，從而得出結(jié)論．
（3）先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)條件設(shè)出過點(diǎn)P的直線方程l₁：y=k（x-1）與曲線C交于另一點(diǎn)A，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及弦長公式求出|PA|；同理求出|PB|，最后結(jié)合|PB|=|PA|即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）因?yàn)椋簒²+

y2

a

=1．
當(dāng)a＜0時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線；
當(dāng)a=1時(shí)，曲線表示單位圓；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓；
當(dāng)a＞1時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．
（2）直線l與曲線C都恒過定點(diǎn)（1，0），不妨記點(diǎn)M（1，0），
由

y=k(x-1) x2-y2=1

?（k²-1）x²-2k²x+k²+1=0，
可得另外一交點(diǎn)為N（x_N，y_N）
則xN=

k2+1

k2-1

，yN=

2k

k2-1

．
假設(shè)存在滿足條件的Q，則

OM

+

ON

=λ

OQ

．
則

1+xN=λxQ yN=λyQ

代入曲線C可得

1

λ2

(xQ2-yQ2)=1?λ2=(

2k 2

k2-1

)2-(

2k

k2-1

)2=4+

4

k2-1

＞4．
所以，當(dāng)λ＜-2或λ＞2時(shí)．存在滿足條件的Q．
（3）由（2）知，點(diǎn)M（1，0）即點(diǎn)P（1，0）．
設(shè)過點(diǎn)P（1，0）的直線為l₁：y=k（x-1）與曲線C交于令一點(diǎn)A，
由

y=k(x-1) x2+ y2 a =1

?（a+k²）x²-2k²x+k²-a=0，
∴xA+xp=

2k2

a+k2

，xA•xp=

k2-a

a+k2

；
∴|PA|=

1+k2

•|x_A-x_p|=

1+k2

(xA+xp)2-4 xAxp

=

1+k2

•

2a

a+k2

．
同理可求過點(diǎn)P（1，0）的直線L_PB：y=-

1

k

（x-1）．|PB|=

1+ ( 1 k )2

•

2a

a+( 1 k )2

因?yàn)閨PB|=|PA|??k³-ak²+ka-1=0?
即（k-1）[k²+（1-a）k+1]=0       
∴k=1或k²+（1-a）k+1=0?
當(dāng)k²+（1-a）k+1=0時(shí)，△=（a-1）²-4?
由△＜0，得-1＜a＜3?0＜a＜3
由△=0，得a=3，此時(shí)，k=1
故，由△≤0，即0＜a≤3 時(shí)有一解?
由△＞0即a＞3 時(shí)有三解

點(diǎn)評：本題考查方程表示的曲線，弦長公式，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)是解題的難點(diǎn)．