設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
1
2
，右焦點(diǎn)到直線
x
a
+
y
b
=1的距離d=
21
7
，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線，與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，證明點(diǎn)O到直線AB的距離為定值，并求弦AB長(zhǎng)度的最小值．
分析：（I）利用離心率求得a和c的關(guān)系式，同時(shí)利用點(diǎn)到直線的距離求得a，b和c的關(guān)系最后聯(lián)立才求得a和b，則橢圓的方程可得．
（II）設(shè)出A，B和直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，利用韋達(dá)定理表示出x1+x2和x1x2，利用OA⊥OB推斷出x1x2+y1y2=0，
求得m和k的關(guān)系式，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離求得O到直線AB的距離為定值，進(jìn)而利用基本不等式求得OA=OB時(shí)AB長(zhǎng)度最小，最后根據(jù)d•AB=OA•OB≤
AB2
2
求得AB的坐標(biāo)值．
解答：解：（I）由e=
1
2
得
c
a
=
1
2
即a=2c，∴b=
3
c．
由右焦點(diǎn)到直線
x
a
+
y
b
=1的距離為d=
21
7
，
得：
|bc-ab|
a2+b2
=
21
7
，
解得a=2，b=
3
．
所以橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（II）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
直線AB的方程為y=kx+m，
與橢圓
x2
4
+
y2
3
=1聯(lián)立消去y得3x2+4（k2x2+2kmx+m2）-12=0，x1+x2=-
8km
3+4k2
，x1x2=
4m2-12
3+4k2
．
∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，
∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．
即（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，∴(k2+1)
4m2-12
3+4k2
-
8k2m2
3+4k2
+m=0，
整理得7m2=12（k2+1）
所以O(shè)到直線AB的距離d=
|m|
k2+1
=
12
7
=
2
21
7
．為定值
∵OA⊥OB，∴OA2+OB2=AB2≥2OA•OB，
當(dāng)且僅當(dāng)OA=OB時(shí)取“=”號(hào)．
由d•AB=OA•OB得d•AB=OA•OB≤
AB2
2
，
∴AB≥2d=
4
21
7
，
即弦AB的長(zhǎng)度的最小值是
4
21
7
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題的能力和基本的運(yùn)算能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞1）右焦點(diǎn)為F，它與直線l：y=k（x+1）相交于P、Q兩點(diǎn)，l與x軸的交點(diǎn)M到橢圓左準(zhǔn)線的距離為d，若橢圓的焦距是b與d+|MF|的等差中項(xiàng)．
（1）求橢圓離心率e；
（2）設(shè)N與M關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，若以N為圓心，b為半徑的圓與l相切，且
OP
•
OQ
=-
5
3
求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左．右焦點(diǎn)分別為F1F2，上頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．
（1）若過(guò)A．Q．F2三點(diǎn)的圓恰好與直線l：x-
3
y-3=0相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過(guò)右焦點(diǎn)F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M．N兩點(diǎn)．試證明：
1
|F2M|
+
1
|F2N|
為定值；②在x軸上是否存在點(diǎn)P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•鹽城一模）設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恒過(guò)定點(diǎn)A（1，2），則橢圓的中心到準(zhǔn)線的距離的最小值
5
+2
5
+2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若P 是橢圓上的一點(diǎn)，|
PF1
|+|
PF2
|=4，離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P 是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，
PF1
•
PF2
=-
5
4
，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)過(guò)定點(diǎn)P（0，2）的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e=
2
2
，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與直線x-
3
y-3=0相切．
（I）求橢圓C的方程；
（II）直線y=x交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，D為橢圓上異于A、B的點(diǎn)，求△ABD面積的最大值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案