Question

已知

m

=（2

3

，1），

n

=（cos²

A

2

，sin（B+C），A，B，C是△ABC的內(nèi)角
（1）當A=

π

2

時，求|

n

|的值；
（2）若B=

π

6

，|AB|=3，當

m

•

n

取最大值時，求A大小及BC邊長．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）把A的度數(shù)代入取得出向量

n

坐標，利用向量模的計算方法即可求出|

n

|的值；
（2）由兩向量的坐標，以及平面向量的數(shù)量積運算法則表示出

m

•

n

，求出

m

•

n

取最大值時A的度數(shù)，進而求出C與B的度數(shù)，得到|BC|=|AC|=x，利用余弦定理列出關(guān)系式，求出x的值，即可求出|BC|．

解答： 解：（1）當A=

π

2

時，

n

=（cos²

A

2

，sin（B+C）=（

1

2

，1），
則|

n

|=

( 1 2 )2+1

=

5

2

；
（2）∵

m

=（2

3

，1），

n

=（cos²

A

2

，sin（B+C），
∴

m

•

n

=2

3

cos²

A

2

+sin（B+C）=

3

（1+cosA）+sinA=2sin（A+

π

3

）+

3

，
當A=

π

6

時，

m

•

n

取得最大值，此時C=π-A-B=

2π

3

，
∴A=B=

π

6

，即|BC|=|AC|，
設(shè)|BC|=|AC|=x，
由余弦定理得：|AB|²=|AC|²+|BC|²-2|AC|•|BC|•cosC，即9=x²+x²+x²=3x²，
解得：x=

3

，
則|BC|=

3

．

點評：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．