Question

設(shè)數(shù)列的前項和為，且，其中為常數(shù),且

（Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足，（求數(shù)列的通項公式；

（Ⅲ）設(shè)，，數(shù)列的前項和為

 

Answer 1

（1）見解析 （2） （3）

【解析】

試題分析：（1）證明一個數(shù)列是否為等差數(shù)列的基本方法有兩種：一是定義法：證明；二是等差中項法，證明，若證明一個數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需舉出反例即可；（2）根據(jù)等差數(shù)列的首項和公差求通項公式；根據(jù)等比數(shù)列的首項和公比求通項公式；注意題中限制條件；（3）一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項的和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后做差求解.

試題解析：（Ⅰ）由，

相減得：，∴，

∴數(shù)列是等比數(shù)列．

（Ⅱ），∴，

∴是首項為，公差為1的等差數(shù)列；∴，

∴．

（Ⅲ）時，，∴，

∴， ①

②

①②得，

.

考點：等比數(shù)列的定義及錯位相減求數(shù)列的和..