Question

8．某小組有A、B、C、D、E、F六位同學(xué)，其中A、B、C、D四位同學(xué)成績(jī)較好，E、F兩位同學(xué)成績(jī)較弱．
（1）某次活動(dòng)上，決定由兩位成績(jī)較好的同學(xué)和一位成績(jī)較差的同學(xué)組隊(duì)參加，則A和B不都去參加的概率；
（2）一次學(xué)習(xí)競(jìng)賽中，規(guī)定每小組先通過(guò)抽簽方式將6人排序，并按順序依次出場(chǎng)參賽，每次出場(chǎng)1人，解答一個(gè)問(wèn)題，已知4位成績(jī)較好的同學(xué)可以解答出任意一個(gè)題目，而成績(jī)較弱的同學(xué)無(wú)法完整解答出每一個(gè)題目，一旦出現(xiàn)解答不完整情況，該組答題即停止，用X代表該組出場(chǎng)參賽的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析 （1）先求出基本事件總數(shù)n=${C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}$，A和B不都去參加的對(duì)立事件是A和B都去參加，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出A和B不都去參加的概率．
（2）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）∵某小組有A、B、C、D、E、F六位同學(xué)，其中A、B、C、D四位同學(xué)成績(jī)較好，E、F兩位同學(xué)成績(jī)較弱．
某次活動(dòng)上，決定由兩位成績(jī)較好的同學(xué)和一位成績(jī)較差的同學(xué)組隊(duì)參加，
基本事件總數(shù)n=${C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}$=12，
A和B不都去參加的對(duì)立事件是A和B都去參加，
∴A和B不都去參加的概率P=1-$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}$=1-$\frac{2}{12}$=$\frac{5}{6}$．
（2）由已知得X的可能取值為1，2，3，4，
P（X=1）=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=2）=$\frac{4}{6}×\frac{2}{5}$=$\frac{4}{15}$，
P（X=3）=$\frac{4}{6}×\frac{3}{5}×\frac{2}{4}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=4）=$\frac{4}{6}×\frac{3}{5}×\frac{2}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{15}$，
P（X=5）=$\frac{4}{6}×\frac{3}{5}×\frac{2}{4}×\frac{1}{3}×\frac{2}{2}$=$\frac{1}{15}$，
∴X的分布列為：

X	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{15}$

E（X）=$1×\frac{1}{3}+2×\frac{4}{15}+3×\frac{1}{5}+4×\frac{2}{15}$+5×$\frac{1}{15}$=$\frac{7}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)立事件概率計(jì)算公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．