Question

設△ABC的內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且a=3，A=60°，b+c=3

2

．
（Ⅰ）求函數f（x）=cos²A+cos²x（x∈R）的單調遞增區(qū)間及最大值；
（Ⅱ）求△ABC的面積的大�。�

Answer 1

考點：余弦定理

專題：三角函數的求值

分析：（Ⅰ）將A的度數代入函數f（x）=cos²A+cos²x中，利用二倍角的余弦函數公式化簡，根據余弦函數的單調遞增區(qū)間，即可確定出f（x）的單調遞增區(qū)間，利用余弦函數的值域即可確定出f（x）的最大值；
（Ⅱ）利用余弦定理列出關系式，再利用完全平方公式變形后，將a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=cos²60°+cos²x=

1

4

+

1+cos2x

2

=

3

4

+

1

2

cos2x，
令2kπ+π≤2x≤2kπ+2π（k∈Z），解得：kπ+

1

2

π≤x≤kπ+π（k∈Z），
∴函數f（x）的單調遞增區(qū)間為[kπ+

1

2

π，kπ+π]（k∈Z），當且僅當x=kπ+π（k∈Z）時，函數f（x）取得最大值，其最大值是

5

4

；
（Ⅱ）∵a=3，A=60°，b+c=3

2

，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc，即9=18-3bc，
∴bc=3，
則S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

×

3

2

=

3 3

4

．

點評：此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及余弦函數的單調性及值域，熟練掌握定理是解本題的關鍵．