Question

已知橢圓C：

x

a2

2+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

4

5

，過右焦點F且斜率為k（k＞0）的直線與C相交于A、B兩點，若

AF

=4

FB

，則k=（　�。�

• A．

  7

  3

• B．

  2

• C．

  7

  4

• D．

  7

  5

Answer 1

分析：由橢圓的離心率算出a：b：c=5：3：4，因此設a=5t，b=3t，c=4t（t＞0）．化橢圓方程為9x²+25y²=225t²，與直線AB方程：y=k（x-4t）消去x，得到關于y的一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關系和向量的坐標運算法則，結(jié)合題意建立關于k、t的方程組，解之即可得到k的值．

解答：解：∵橢圓C：

x

a2

2+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

4

5

，
∴

c

a

=

a2-b2

a

=

4

5

，

b

a

=

3

5

，
設a=5t，b=3t，c=4t，化橢圓方程為9x²+25y²=225t²（t＞0）
∵直線AB經(jīng)過橢圓的右焦點F且斜率為k，∴直線AB的方程為y=k（x-4t）．
由

y=k(x-4t) 9x 2+25y 2=225t2

消去x，得(

9

k2

+25)y2+

72t

k

y-81t2=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得y₁+y₂=-

72kt

9+25k2

，y₁y₂=-

81k2t2

9+25k2

…①
又∵

AF

=4

FB

，∴y₁=-4y₂…②
聯(lián)解①②，可得k²=

7

9

，結(jié)合k＞0得k=

7

3

故選：A

點評：本題著重考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系、向量的坐標運算和橢圓的標準方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．