Question

如圖，△OAB是邊長為2的正三角形，記△OAB位于直線x=t（0＜t≤2）左側的圖形的面積為f（t），則
（Ⅰ）函數(shù)f（t）的解析式為

 

；
（Ⅱ）函數(shù)y=f（t）的圖象與直線t=2、t軸圍成的圖形面積為

 

．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：綜合題,函數(shù)的性質及應用

分析：（Ⅰ）結合圖形，求出0＜t≤1時和1＜t≤2時滿足條件的圖形的面積，用分段函數(shù)表示f（t）的解析式；
（Ⅱ）因函數(shù)y=f（t）的圖象與直線t=2、t軸圍成的圖形面積曲邊梯形，用積分求出面積即可．

解答： 解：（Ⅰ）由圖形知，
當0＜t≤1時，此時滿足條件的圖形面積為
f（t）=

1

2

•t•t•tan

π

3

=

3

2

t²；
當1＜t≤2時，此時滿足條件的圖形面積為
f（t）=

1

2

×2×1×tan

π

3

-

1

2

•（2-x）•（2-x）•tan

π

3

=

3

-

3

2

（t-2）²；
∴函數(shù)f（t）=

3 2 t2，     0＜t≤1 - 3 2 (t-2)2+ 3 ，1＜t≤2

．
（Ⅱ）函數(shù)y=f（t）的圖象與直線t=2、t軸圍成的圖形面積是

S=

∫

1 0

3

2

t²dt+

∫

2 1

（-

3

2

（t-2）²+

3

）dt
=

3

2

×

1

3

t³

|

1 0

+（-

3

2

×

1

3

t³

|

2 1

+2

3

×

1

2

t²

|

2 1

-2

3

t

|

2 1

+

3

t

|

2 1

）
=

3

6

-

7 3

6

+3

3

-2

3

+

3

=

3

．
故答案為：f（t）=

3 2 t2，     0＜t≤1 - 3 2 (t-2)2+ 3 ，1＜t≤2

；

3

．

點評：本題考查了求函數(shù)的解析式以及利用積分求曲邊梯形的面積問題，解題時應結合圖形，求出符合條件的解析式并求出面積，是綜合題目．