Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρcosθ+3=0，θ∈[0，2π]．
（1）求C₁的直角坐標(biāo)方程；
（2）曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{π}{6}}\\{y=tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），求C₁與C₂的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，代入曲線C₁的極坐標(biāo)方程可得直角坐標(biāo)方程．
（2）由曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{π}{6}}\\{y=tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），可知：此條直線經(jīng)過原點(diǎn)，傾斜角為$\frac{π}{6}$．因此C₁的極坐標(biāo)方程為：$θ=\frac{π}{6}$，或$θ=\frac{7π}{6}$（ρ＞0）．分別代入C₁的極坐標(biāo)方程即可得出．

解答 解：（1）把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，代入曲線C₁的極坐標(biāo)方程ρ²-4ρcosθ+3=0，θ∈[0，2π]，
可得：x²+y²-4x+3=0，配方為：（x-2）²+y²=1．
（2）由曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{π}{6}}\\{y=tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），可知：此條直線經(jīng)過原點(diǎn)，傾斜角為$\frac{π}{6}$．因此C₁的極坐標(biāo)方程為：$θ=\frac{π}{6}$，或$θ=\frac{7π}{6}$（ρ＞0）．
將$θ=\frac{π}{6}$代入C₁可得：ρ²-2$\sqrt{3}$ρ+3=0，解得ρ=$\sqrt{3}$．
將$θ=\frac{7π}{6}$代入C₁可得：ρ²+2$\sqrt{3}$ρ+3=0，解得ρ=-$\sqrt{3}$，舍去．
故C₁與C₂的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)為$（\sqrt{3}，\frac{π}{6}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化、參數(shù)方程化為普通方程、曲線的交點(diǎn)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．