Question

橢圓x²+

y2

4

=1短軸的左右兩個端點分別為A，B，直線l：y=kx+1與x軸、y軸分別交于兩點E，F(xiàn)，交橢圓于兩點C，D．
（Ⅰ）若

CE

=

FD

，求直線l的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AD，CB的斜率分別為k₁，k₂，若k₁：k₂=2：1，求k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由

4x2+y2=4 y=kx+1

得（4+k²）x²+2kx-3=0，再由判別式和根與系數(shù)的關(guān)系可推導出所求直線l的方程為2x-y+1=0或2x+y-1=0．
（Ⅱ）由題設(shè)知y₁²=4（1-x₁²），y₂²=4（1-x₂²），由此推出3x₁x₂+5（x₁+x₂）+3=0，所以3k²-10k+3=0，由此可推導出k的值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由

4x2+y2=4 y=kx+1

得（4+k²）x²+2kx-3=0，
△=4k²+12（4+k²）=16k²+48，x1+x2=

-2k

4+k2

，x1x2=

-3

4+k2

，（2分）
由已知E(-

1

k

，0)，F(xiàn)(0，1)，
又

CE

=

FD

，所以(-

1

k

-x1，-y1)=(x2，y2-1)（4分）
所以-

1

k

-x1=x2，即x2+x1=-

1

k

，（5分）
所以

-2k

4+k2

=-

1

k

，解得k=±2，（6分）
符合題意，
所以，所求直線l的方程為2x-y+1=0或2x+y-1=0．（7分）
（Ⅱ）k1=

y2

x2+1

，k2=

y1

x1-1

，k₁：k₂=2：1，
所以

y2(x1-1)

y1(x2+1)

=

2

1

，（8分）
平方得

y 2 2 (x1-1)2

y 2 1 (x2+1)2

=4，（9分）
又

x

2 1

+

y 2 1

4

=1，所以y₁²=4（1-x₁²），同理y₂²=4（1-x₂²），代入上式，
計算得

(1-x2)(1-x1)

(1+x1)(1+x2)

=4，即3x₁x₂+5（x₁+x₂）+3=0，（12分）
所以3k²-10k+3=0，解得k=3或k=

1

3

，（13分）
因為

y2(x1-1)

y1(x2+1)

=

2

1

，x₁，x₂∈（-1，1），所以y₁，y₂異號，故舍去k=

1

3

，
所以k=3．（14分）

點評：本題考查圓錐曲線的綜合運用，是歷年高考題的重要題型之一，解題時要注意計算能力的培養(yǎng)，注意積累解題方法．