Question

如圖，在增四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，BB₁=

3

+1，E為BB₁上使B₁E=1的點(diǎn)．平面AEC₁交DD₁于F，交A₁D₁的延長線于G，求異面直線AD與C₁G所成角的大小．

Answer 1

分析：本題適合建立空間坐標(biāo)系得用向量法解決這個(gè)立體幾何問題，建立空間坐標(biāo)系，給出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出異面直線AE與A₁F的方向向量，利用利用夾角公式求異面直線AE與A₁F所成角的余弦值即可．

解答：解：以A₁為原點(diǎn)，A₁B₁，A₁D₁，A₁A所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
于是，A(0，0，

3

+1)，C1(1，1，0)，D(0，1，

3

+1)，E(1，0，1)，

AD

=(0，1，0)，

EC1

=(0，1，-1)．
因?yàn)镋C₁和AF是平行平面BB₁C₁C和AA₁D₁D與平面AEC₁G的交線，
所以EC₁∥AF．設(shè)G（0，y，0），
則

AG

=(0，y，-1-

3

)．由

EC1

∥

AG

?

1

y

=

-1

-1- 3

，
于是y=

3

+1．
故G(0，1+

3

，0)，

C1G

=(-1，

3

，0)．
設(shè)異面直線AD與C₁G所成的角的大小為θ，
則：cosθ=

AD • C1G

| AD |•| C1G |

=

3

2

，從而θ=

π

6

．

點(diǎn)評：考查用空間向量為工具解決立體幾何問題，此類題關(guān)鍵是找清楚線的方向向量，本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．