Question

已知函數(shù)f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜0）的最小正周期為π，其圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=

π

8

．
（Ⅰ）求ω，φ；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）畫(huà)出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，π]上的圖象．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由周期求得ω=2，由圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程以及φ的范圍求出 φ=-

π

4

，從而得到 函數(shù)f（x）=2cos（2x-

π

4

）．
（Ⅱ）令 2kπ≤2x-

π

4

≤2kπ+π，k∈z，求出x的范圍，即可求得函數(shù)的減區(qū)間．
（Ⅲ）列表，根據(jù)列表畫(huà)出函數(shù)的圖象．

解答：（Ⅰ）由題意可得

2π

ω

=π，∴ω=2．
∵圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=

π

8

，
∴2cos（2×

π

8

+φ）=±2．
再由，-π＜φ＜0可得 φ=-

π

4

，
∴函數(shù)f（x）=2cos（2x-

π

4

）．
（Ⅱ）令 2kπ≤2x-

π

4

≤2kπ+π，k∈z，解得 kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，k∈z，故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈z．
（Ⅲ）列表：

x	0	π 8	2π 8	3π 8	4π 8	5π 8	6π 8	7π 8	π
2x- π 4	- π 4	0	π 4	π 2	3π 4	π	5π 4	3π 2	π 4
f（x）	2	2	2	0	2	-2	- 2	0	2

畫(huà)出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，π]上的圖象，如圖所示：

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用y=Asin（ωx+∅）的圖象特征，由函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，屬于中檔題．