Question

（2012•鄭州二模）已知斜率為2的直線l過拋物線y²=px（p＞0）的焦點(diǎn)F，且與y軸相交于點(diǎn)A，若△OAF（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為1，則P=

4

4 5

．

Answer 1

分析：由題意，經(jīng)過F且斜率為2的直線l方程為y=2（x-

p

4

），與拋物線方程消去y得關(guān)于x的一元二次方程，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系并結(jié)合拋物線的定義，可得|AB|=

5

4

p．用點(diǎn)到直線的距離公式算出原點(diǎn)O到直線AB的距離d=

5

10

p，根據(jù)△OAF面積為1列式，解之可得實(shí)數(shù)p的值．

解答：解：∵拋物線y²=px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（

p

4

，0），
∴經(jīng)過F且斜率為2的直線l方程為y=2（x-

p

4

）
由

y2=px y=2(x- p 4 )

，消去y得4x²-3px+p²=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得x₁+x₂=

3

4

p
結(jié)合拋物線的定義，得|AB|=x₁+x₂+

p

2

=

5

4

p
將直線y=2（x-

p

4

）化成一般式，得2x-y-

p

2

=0
∴原點(diǎn)O到直線AB的距離d=

|- p 2 |

5

=

5

10

p
由此可得，△OAF的面積為S_△OAF=

1

2

×|AB|×d=1，即

1

2

×

5

4

p×

5

10

p=1
解之得p=

4

4 5

故答案為：

4

4 5

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線的焦點(diǎn)弦與原點(diǎn)構(gòu)成面積為1的三角形，求參數(shù)p之值，著重考查了拋物線的方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和直線與拋物線的關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．