Question

已知函數(shù)f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（Ⅰ）若|f（x）|=g（x）有兩個不同的解，求a的值；
（Ⅱ）若當x∈R時，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）求h（x）=|f（x）|+g（x）在[-2，2]上的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）解方程|f（x）|=g（x），根據(jù)積商符號法則轉(zhuǎn)化為兩個絕對值不等式的根的問題；
（Ⅱ）不等式f（x）≥g（x）恒成立即（x²-1）≥a|x-1|對x∈R恒成立，對x進行討論，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解；（Ⅲ）去絕對值，分段求函數(shù)的最值．
解答：解：（Ⅰ）方程|f（x）|=g（x），
即|x²-1|=a|x-1|，變形得|x-1|（|x+1|-a）=0，
顯然，x=1已是該方程的根，
從而欲原方程有兩個不同的解，即要求方程|x+1|=a
“有且僅有一個不等于1的解”或
“有兩解，一解為1，另一解不等于1”
得a=0或a=2
（Ⅱ）不等式f（x）≥g（x）對x∈R恒成立，
即（x²-1）≥a|x-1|（*）對x∈R恒成立，
①當x=1時，（*）顯然成立，此時a∈R
②當x≠1時，（*）可變形為，
令，
因為當x＞1時，φ（x）＞2；而當x＜1時，φ（x）＞-2．
所以g（x）＞-2，故此時a≤-2
綜合①②，得所求a的取值范圍是a≤-2
（Ⅲ）因為h（x）=|f（x）|+g（x）=|x²-1|+a|x-1|
=，
1）當，即a＞2時，
h（x）在[-2，1]上遞減，在[1，2]上遞增，
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，
經(jīng)比較，此時h（x）在[-2，2]上的最大值為3a+3
2）當，即0≤a≤2時，
h（x）在[-2，-1]，上遞減，
在上[1，2]上遞增，
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，，
經(jīng)比較，知此時h（x）在[-2，2]上的最大值為3a+3
3）當，即-2≤a＜0時，
h（x）在[-2，-1]，上遞減，
在，[1，2]上遞增，
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，，
經(jīng)比較知此時h（x）在[-2，2]上的最大值為a+3
4）當，即-3≤a＜-2時，
h（x）在，上遞減，
在，上遞增，且h（-2）=3a+3＜0，h（2）=a+3≥0，
經(jīng)比較知此時h（x）在[-2，2]上的最大值為a+3
5）當，即a＜-3時，
h（x）在[-2，1]上遞減，在[1，2]上遞增，
故此時h（x）在[-2，2]上的最大值為h（1）=0
綜上所述，當a≥0時，h（x）在[-2，2]上的最大值為3a+3；
當-3≤a＜0時，h（x）在[-2，2]上的最大值為a+3；
當a＜-3時，h（x）在[-2，2]上的最大值為0．
點評：考查絕對值方程、不等式和最值問題的求法，體現(xiàn)了分類討論、等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，特別是（Ⅲ）難度較大，很好的考查分析問題、解決問題的能力．屬難題．