Question

已知橢圓Q的中心為坐標原點，焦點在x軸上，離心率e=

3

2

，過橢圓Q右焦點且垂直于x軸的一條直線交橢圓于E，F兩點，|EF|=1．
（Ⅰ）求橢圓Q的方程；
（Ⅱ）已知兩點C(-

6

2

，0)，D(

6

2

，0)，設A，B，M是橢圓Q上的三點，滿足

OM

=

3

5

OA

+

4

5

OB

，點N為線段AB的中點，求|NC|+|ND|的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：向量與圓錐曲線

分析：（Ⅰ）由題意設出橢圓方程，結合已知列出關于a，b，c的方程組，求出a，b后可得橢圓的方程；
（Ⅱ）設出A，B的坐標，由

OM

=

3

5

OA

+

4

5

OB

得到M的坐標，把M的坐標代入橢圓方程得到
有

1

4

•(

3

5

x1+

4

5

x2)2+(

3

5

y1+

4

5

y2)2=1，再由A，B在橢圓上整理可得點N在橢圓

x2

2

+2y2=1上，且C，D為該橢圓的兩個焦點坐標，則答案可求．

解答： 解：（Ⅰ） 依據題意可設橢圓Q：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F（c，0），則有：

c a = 3 2 2b2 a =1 a2=b2+c2

，解得

a2=4 b2=1 c2=3

，
∴橢圓Q：

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x 2 1

4

+

y

2 1

=1，

x 2 2

4

+

y

2 2

=1 ①，
由

OM

=

3

5

OA

+

4

5

OB

，得M(

3

5

x1+

4

5

x2，

3

5

y1+

4

5

y2)，
又點M在橢圓Q：

x2

4

+y2=1上，
則有

1

4

•(

3

5

x1+

4

5

x2)2+(

3

5

y1+

4

5

y2)2=1 ②，
綜合①、②得：

x1•x2

4

+y1•y2=0．
又線段AB的中點為N(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)，
且

1

4

(

x1+x2

2

)2+(

y1+y2

2

)2
=

1

4

(

x12

4

+y12)+

1

4

(

x12

4

+y12)+

1

2

(

x1•x2

4

+y1•y2)
=

1

4

+

1

4

=

1

2

．
上式表明，點N在橢圓

x2

2

+2y2=1上，且該橢圓的兩個焦點恰好為C(-

6

2

，0)，D(

6

2

，0)兩點，
由橢圓定義有|NC|+|ND|=2

2

．

點評：本題考查了橢圓方程的求法，主要考查了直線與橢圓的位置關系的應用，訓練了“舍而不求”的數學解題思想方法，圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考生具備較強的運算推理的能力，是壓軸題．